Hukum Pangkat

Kamis, 28 Juli 2011 - Hukum pangkat adalah jenis hubungan matematis khusus antara dua besaran. Ketika frekuensi sebuah peristiwa bervariasi sebagai pangkat dari beberapa atribut peristiwa tersebut (misalnya ukurannya), frekuensinya dikatakan mengikuti hukum pangkat. Sebagai contoh, jumlah kota dengan ukuran populasi tertentu ditemukan beragam sebagai pangkat dari ukuran populasi dan karenanya mengikuti hukum pangkat. Persebaran sejumlah besar fenomena alam dan buatan mengikuti hukum pangkat, termasuk frekuensi kata dalam sebagian besar bahasa, frekuensi nama keluarga, ukuran kawah di bulan dan kobaran surya, ukuran gempa bumi, ukuran konsumsi listrik, ukuran perang, popularitas buku dan musik, dan banyak besaran lainnya. Ia juga berada di balik “aturan 80/20” atau distribusi Pareto yang mengatur distribusi pendapatan dan kekayaan dalam sebuah populasi.

---

Secara formal, hukum pangkat adalah hubungan suku banyak manapun yang menunjukkan sifat invarian skala. Hukum pangkat yang paling umum yang menghubungkan dua variabel dan memiliki bentuk

F(x) = ax^(k) + o(x^(k)),

Dimana a dan k adalah konstan, dan o^k adalah fungsi kecil asimptotik dari x^(k). Dalam rumus ini, k disebut pangkat penskala, dimana kata “skala” menunjukkan fakta kalau fungsi hukum pangkat memenuhi f(cx) sebanding dengan f(x) dimana c adalah sebuah konstan. Karenanya sebuah penskalaan ulang argumen fungsi mengubah konstanta kesebandingan namun melestarikan bentuk fungsi itu sendiri. Hal ini menjadi jelas bila kita mengambil logaritma dari kedua sisi:

Log (f(x)) = k log x + log a

Sifat utama hukum pangkat ayang membuatnya menarik adalah invarian skalanya. Dengan hubungan f(x) = ax^(k), penskalaan argumen x dengan sebuah faktor konstan menyebabkan sebuah penskalaan sebanding dari fungsi itu sendiri. Dengan kata lain,

F(cx) = a(cx)^(k) = c^(k) f(x) sebanding dengan f(x)

Bentuk lain distribusi hukum pangkat yang tidak memenuhi bentuk umum di atas  adalah hukum pangkat dengan potongan eksponensial

P(x) sebanding dengan L(x) x^(-alpha) e^(-lambda x)

Contoh-contoh distribusi hukum pangkat antara lain:

1. Distribusi pareto (kontinyu)
2. Distribusi zeta (diskrit)
3. Distribusi Yule-Simon (diskrit)
4. Distribusi t Student (kontinyu), dimana distribusi Cauchy merupakan kasus khusus
5. Hukum Zipf dan generalisasinya, hukum Zipf-Mandelbrot (diskrit)
6. Hukum Lotka
7. Model hubungan bebas skala
8. Bibliogram
9. Hukum Gutenberg-Richter untuk besaran gempa bumi
10. Hukum Horton untuk sistem sungai
11. Hukum Richardson untuk keparahan konflik kekerasan (perang dan terorisme)
12. Populasi kota
13. Jumlah pemeluk agama
14. Jumlah kekayaan individu
15. Frekuensi kata dalam teks
16. Derau Pink
17. Prinsip 90-9-1 pada wiki

Sumber

Wikipedia. Power Law.